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Bene bene. Mentre la relatività ristretta studiava i sistemi inerziali, la relatività generale spiega come le leggi fisiche siano le stesse per tutti anche in sistemi accelerati. Ma non era un a teoria della gravitazione? Certo, ma vediamo i ragionamenti che fece Einstein.

Tutto parte dal principio di equivalenza, risalente a qualche anno prima della teoria vera e propria, presente in due versioni:

1)la versione forte, che dice che in un campo gravitazionale è sempre possibile trovare un sistema di riferimento dove non si notino gli effetti della gravità;

2)quella debole che afferma che la massa inerziale e quella gravitazionale hanno numericamente lo stesso valore.

Mentre se è vero il primo è vero anche il secondo, non è così l’opposto. Ma analizziamoli entrambi per arrivare alle conclusioni.

Il primo punto è fondamentale per tutta la relatività. Analizziamolo.

Per capirci, l’esempio più usato è l’ascensore di Einstein. Supponiamo di essere in una stanza, prima sulla terra e poi nello spazio.Se la stanza è lasciata cadere in un campo gravitazionale(sta precipitando da un grattacielo u.u ), l’osservatore non può in alcun modo sapere se è in un sistema inerziale o se sta accelerando per la gravità. Infatti tutti i corpi cadono alla stessa velocità. Quindi, se lasciassi cadere una pallina, nella stanza soggetta alla gravità, questa resterebbe sospesa, perchè accelera come la stanza e come l’osservatore e in ogni istante avrà la loro stessa velocità(i gravi cadono con la stessa velocità verso la terra ), e quindi l’osservatore stesso potrebbe concludere di essere in un sistema inerziale. Ed è per questo che la versione forte dice che potremmo avere un riferimento dove non si senta la gravità. Conseguenza quindi del principio di equivalenza è che, in ogni sistema in caduta libera in un campo gravitazionale, varranno le stesse leggi fisiche. In pratica, ci siamo ricondotti alla relatività ristretta, perchè non possiamo distinguere questo sistemi da quelli inerziali.

Spieghiamo ora  la versione debole del principio.

Dobbiamo sapere prima che la massa inerziale misura quanto il corpo si opponga all’applicazione di una forza(quindi a cambiare velocità, tende ad avere moto rettilineo uniforme o stare fermo) con la seguente formula:

La massa gravitazionale misura invece la capacità di un corpo di attrarne un altro, con la seguente formula:

Ponendo F=F otteniamo:

Come vediamo, l’accelerazione gravitazionale che subisce un corpo non dipende dalle caratteristiche del corpo, ma solo da quelle del corpo che lo attira. Quindi tutti i corpi soggetti al campo gravitazionale subiscono gli stesso effetti. Se non fosse così, i corpo verrebbero accelerati in maniera dipendente dalle loro masse, ma nella versione forte abbiamo detto che non deve essere così. In pratica abbiamo posto le masse uguali per poter confermare la versione forte. Come detto quindi, se è vera la versione forte deve essere vera anche quella debole: tuttavia non vale il contrario, perchè potrebbero agire altre forze oltre a quella peso che noi abbiamo considerato, e non potremmo più porre l’uguaglianza.

Però l’uguaglianza mi = mg ha come conseguenza il fatto seguente: l’osservatore non può in alcun modo capire se l’accelerazione che sente sia dovuta ad un campo gravitazionale o ad una accelerazione. Vediamo perchè.

Usiamo ancora l’ascensore di Einstein. Sempre stessa stanza. Quando siamo sulla terra sentiamo una forza che tira verso il basso(gravità); ma se siamo nello spazio, e stiamo accelerando, sentiamo comunque una forza che tende a farci restare indietro rispetto al moto, quindi se la stanza accelera verso l’alto, noi ci sentiamo tirare verso il basso. Questo è dovuto all’inerzia, che infatti è l’opposizione di un corpo al cambiare di velocità. Come conseguenza, in una stanza chiusa, nessuno potrebbe sapere se sta accelerando o se è in un campo gravitazionale. Infatti gli effetti sono gli stessi.

Quando siete in macchina e accelerate, sentite ‘tirare’ indietro. Lo stesso qui, solo che la stanza va verso l’alto, in modo che all’interno si sia sempre ‘tirati’ verso il pavimento. In altre parole, nella stanza con accelerazione uguale a quella terrestre, se vi mettete sulla bilancia, pesereste uguali a quanto pesavate sulla terra, anche se foste nello spazio.

Questo è quello che accade: non c’è differenza fra moto accelerato e campo gravitazionale. Questo solo perchè le masse inerziale e gravitazionale hanno lo stesso valore: se non fosse così, gli effetti a terra e sull’astronave sarebbero diversi. Infatti se sono sulla terra e ho una massa gravitazionale di un kilo, ponendola sulla bilancia otterrò un valore: l’unico modo per avere lo stesso valore sull’astronave(che ricordo ha la stessa accelerazione terrestre) è che la massa inerziale abbia lo stesso valore di quella gravitazionale. Possiamo verificare questa cosa molto velocemente: nell’astronave l’unica forza sulla bilancia sarà data da:

A terra invece l’unica forza che agisce sarà:

Poniamo F=F, perchè noi vogliamo che la bilancia segni uguale, quindi subisca la stessa forza. Sapendo che l’accelerazione a sull’astronave è uguale a quella g sulla terra, resterà:

Come vediamo, l’unico modo affinchè le due forze risultino uguali, è appunto che massa gravitazionale e inerziale abbiano lo stesso valore. Per questo abbiamo dovuto dimostrare la versione debole del principio di equivalenza.

In pratica, sapendo che ogni corpo cade con la stessa velocità, abbiamo capito che massa gravitazionale e inerziale devono obbligatoriamente avere lo stesso valore numerico. Arrivati a questa conclusione, abbiamo anche verificato che, essendo così, non possiamo distinguere un sistema accelerato da uno posto in un campo gravitazionale. (ndR¹- Non male direi-)

Inoltre il principio è detto di equivalenza proprio perché in esso un osservatore solidale con le masse in moto non è in grado di distinguere un’accelerazione dovuta a una forza esterna da quella prodotta da un campo gravitazionale. La differenza è visibile solo da un sistema di riferimento non solidale con le masse in moto.

Mentre la versione debole è ampiamente verificata, nell’ordine d’essere diverso dall’unità per meno di un fattore di 10 -14 , ovvero su 1kg ci può essere un errore di 10 -14kg(nel senso che fra massa inerziale e gravitazionale ci potrebbe essere questa differenza), quella forte deve essere tenuta ancora come postulato. Il perchè queste due masse così diverse abbiano lo stesso valore numerico è ancora un mistero.

Quindi, riassumendo:

-Sistemi in caduta libera in un campo gravitazionale possono essere considerati inerziali, con tutto ciò che ne deriva(uguaglianza leggi fisiche);

-Non c’è differenza fra sistemi accelerati e sistemi posti in campi gravitazionali.

-Non c’è differenza fra sistemi accelerati e gravitazionali, ma in quest’ultimi valgono le stesse leggi fisiche: quindi anche nei sistemi accelerati valgono le stesse leggi fisiche.

Quindi Einstein ha trovato un modo brillante di dimostrare che anche nei sistemi accelerati valgono per tutti le stesse leggi fisiche, come in quelli inerziali per la relatività ristretta.

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Note:

¹Nota di Roberto u.u

²Nel caso si stia accelerando, e ci sentiamo ‘tirare’ all’indietro, questa forza che tira è detta forza apparente. Questo perchè in realtà non c’è niente che applichi su di noi quella forza, ma noi la sentiamo ugualmente.(F=ma, se acceleriamo sentiamo una forza, anche se non c’è niente che ci ‘tira’)

 

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